muchachos hoy domingo 11 de mayo no hay tutoria virtual por que tuve que viajar de urgencia a la ciudad de Valledupar.
nota.
por favor ESTUDIEN
PROFESOR CARLOS
HOY GRAN BONO!!!!
COMPLEJOS I
PARA RECORDAR …
1. i1 = i
2. i2 = - 1
3. i3 = - i
4. i4 = 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. (5/3) i1345 + (-2/5) i346 - (1/3) i4577- (7/8) i789
2. DADOS: Z1 = 7 - (2/5)i ; Z2 = - (4/3)i + 5 y Z3 = 8 - (1/4)i
Hallar : (Z1 + Z3 ) / Z2 expresar en forma polar
EJERCICIOS RESUELTOS
1. 4*3X+1 + 3*3X+1 - 4 = 2*3X+1 - 1
1 Paso:
Identificar si la ecuación tiene igual base a iguales potencias
En este ejercicio solo hay una base (3) y todas tienen la misma potencia (x+1)
2 Paso:
Ordenar y reducir términos semejantes
4*3X+1 + 3*3X+1 - 2*3X+1 = - 1 + 4
7*3X+1 - 2*3X+1 = 3
5*3X+1 = 3
3X+1 = 3/5
3 Paso:
Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación
En este punto que hemos logrado reducir a una sola base con exponente y a un solo número, ya podemos aplicar logaritmo
log 3X+1 = log 3/5
(X+1)log 3 = log 3/5
(X+1) = log (3/5) / log 3
X = - 0.4649 - 1
X = - 1.4649 respuesta
2. 4*9Y+1 - 2*9Y+1 + 9Y - 6 = 10
1 Paso:
Identificar si la ecuación tiene igual base a iguales potencias
En este ejercicio solo hay una base (9) pero no tienen la misma potencia, pero se puede convertir a la misma base aplicando la propiedad 2
4*9Y* 91 - 2*9Y* 91 + 9Y - 6 = 10
36*9Y - 18*9Y + 9Y - 6 = 10 ya tienen la misma base
2 Paso:
Ordenar y reducir términos semejantes
36*9Y - 18*9Y + 9Y = 10 + 6
37*9Y - 18*9Y = 16
19*9Y = 16
9Y = 16/19
3 Paso:
Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación
En este punto que hemos logrado reducir a una sola base con exponente y a un solo número, ya podemos aplicar logaritmo
log 9Y = log 16/19
Ylog 9 = log 16/19
Y = log 16/19 / log 9
Y = - 0.078 respuesta
3. 2*25Z + 5Z+1 - 7 = 0
1 Paso:
Identificar si la ecuación tiene igual base a iguales potencias
En este ejercicio hay dos bases (25 y 5) y no tienen la misma potencia, pero se pueden convertir a la misma base aplicando la propiedad 2 y 4
2*25Z + 5Z+1 - 7 = 0
2*(52)Z + 5Z*51 - 7 = 0 por propiedad 2
2*(5Z)2 + 5Z*51 - 7 = 0 por propiedad 4
2*(5Z)2 + 5* 5Z - 7 = 0 ya tienen la misma base
2 Paso:
Ordenar y reducir términos semejantes
Tienen la misma base pero una de ellas esta elevada al cuadrado
2*(5Z)2 + 5* 5Z - 7 = 0
Para esto cambiamos a 5Z por M
2*M2 + 5* M - 7 = 0 esto es una ecuación cuadrática cuya solución es:
M1 = -7/2 y M2 = 1
Entonces, como 5Z = M
5Z = -7/2 y 5Z = 1
3 Paso:
Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación
En este punto que hemos logrado reducir a una sola base con exponente y a un solo número, ya podemos aplicar logaritmo
log 5Z = log -7/2 log 5Z = log 1
Z log 5 = log -7/2 Z log 5 = log 1
Z = log(-7/2) / log 5 Z = log 1 / log 5
Z = No hay respuesta Z = 0 respuesta
EXPONENCIALES I
PROPIEDADES
1. aX = aY ↔ X = Y
2. aX * aY = a X + Y
3. aX / aY = a X - Y
4. ( aX )Y = ( aY )X = aX*Y
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. 4*3X+1 + 3*3X+1 - 4 = 2*3X+1 - 1
2. 4*9Y+1 - 2*9Y+1 + 9Y - 6 = 10
3. 2*25Z + 5Z+1 - 7 = 0
PROPIEDADES
1. Logb M = Logb N ↔ M = N
2. Logb b = 1
3. Logb 1 = 0
4. Logb M + Logb N = Logb M*N
5. Logb M - Logb N = Logb M/N
6. Logb Ma = a* Logb M
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Log ( 3x – 1 ) - log ( x – 2) = log 2 ( logaritmo con logaritmo)
1 Paso: Organizar, en este ejercicio ya esta organizado.
2 Paso: aplicar propiedadesLog ( 3x – 1 )/( x – 2) = log 2 … por propiedad 5
Ahora..
( 3x – 1 )/( x – 2) = 2 … por propiedad 1
3 Paso: despejar la variable
[ ( 3x – 1 )/( x – 2) = 2 ] * ( x - 2 )
3x - 1 = 2 * ( x - 2 )
3x - 1 = 2 x - 4
3x - 2 x = - 4 + 1
X = - 3 respuesta.
_______________________________________________________________
2. Log ( 2 – 3x ) - log 8 = log( x - 4 ) ( logaritmo con logaritmo)
1 Paso: Organizar
Log ( 2 – 3x ) - log( x - 4 ) = log 8
2 Paso: aplicar propiedades
Log ( 2 – 3x ) / ( x - 4 ) = log 8 … por propiedad 5
Ahora..
( 2 – 3x ) / ( x - 4 ) = 8 … por propiedad 1
3 Paso: despejar la variable
[ ( 2 – 3x ) / ( x - 4 ) = 8 ] * ( x - 4 )
( 2 – 3x ) = 8 * ( x - 4 )
2 - 3x = 8 x - 32
- 3x - 8 x = - 32 - 2
-11 x = - 34
x = - 34 / -11
X = - 3.09 respuesta
_________________________________________________________________
3. 4 - log2 ( m + 1 ) + log2 3m = 8 logaritmo y número
1 Paso: Organizar
- log2 ( m + 1) + log2 3m = 8 - 4
log2 3m - log2 ( m + 1) = 4
2 Paso: aplicar propiedades
Log2 3m / ( m + 1 ) = 4
Ahora..
3m / ( m + 1 ) = 24
3 Paso: despejar la variable
[ 3m / ( m + 1 ) = 24 ] * ( m + 1 )
3m = 24 * ( m + 1 )
3m = 16m + 16
3m - 16m = 16
-13 m = 16
x = 16 / -13
X = - 1.23 respuesta
_________________________________________________________________
4. Log ( 4m - 1 ) + 8 - log m = - log 2m + 12 logaritmo y número
1 Paso: Organizar
Log ( 4m - 1 ) - log m + log 2m = 12 - 8
2 Paso: aplicar propiedades
Log ( 4m - 1 ) / m + log 2m = 4 … por propiedad 5
Log [( 4m - 1 ) / m ] * 2m = 4 … por propiedad 4
Ahora..
[( 4m - 1 ) / m ] * 2m = 104
( 4m - 1 ) *2m / m = 10000
( 8m2 - 2m ) / m = 10000
3 Paso: despejar la variable
[ ( 8m2 - 2m ) / m = 10000 ] * m
m2 - 2m = 10000m
8m2 - 2m - 10000m = 0
8m2 - 9998m = 0 ecuación cuadrática
a = 8 b = -9998 c = 0
m1 = 0 respuesta
m2 = 1249.5 respuesta
TUTORIAS VIRTUALES ING. CARLOS EDUARDO PINZON GONZALEZ
LOGARITMOS I
BUENAS TARDES MUCHACHOS VAMOS A DAR INICIO A ECUACIONES CON LOGARITMOS, PARA ALCANZAR EL ÉXITO EN ESTE TEMA DEBEMOS CONOCER MUY BIEN LAS PROPIEDADES Y CUANDO SE DEBEN APLICAR.
PROPIEDADES
1. Logb M = Logb N ↔ M = N
2. Logb b = 1
3. Logb 1 = 0
4. Logb M + Logb N = Logb M*N
5. Logb M - Logb N = Logb M/N
6. Logb Ma = a* Logb M
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Log ( 3x – 1 ) - log ( x – 2) = log 2
2. Log ( 2 – 3x ) - log 8 = log( x - 4 )
3. 4 - log2 ( m + 1 ) + log2 3m = 8
4. Log ( 4m - 1 ) + 8 - log m = - log 2m + 12
ECUACIONES II
EJERCICIOS RESUELTOS
41-a) UN COMERCIANTE ADQUIERE UNA MERCANCIA A UN PRECIO DE 72 PTS. HALLAR EL PRECIO A QUE LA DEBE PONER EN VENTA PARA QUE, HACIENDO UN DESCUENTO DEL 10% SOBRE ESTE, GANE EN LA OPERACIÓN UN 20% SOBRE EL PRECIO DE VENTA
1. Determinar las variables ( lo que nos preguntan ) y datos ( lo que nos dan)
X = precio de venta 72 = costo del producto
2. Hallar la ecuación a utilizar según el problema
PRECIO VENTA CON DESCUENTO = COSTO + 20% (PRECIO VENTA CON DESCUENTO)
PRECIO DE VENTA – 10%(PRECIO VENTA) = COSTO + 20% (PRECIO DE VENTA – 10%(PRECIO VENTA)
3. Reemplazar en la ecuación la variable y despejar
X - (10/100)X = 72 + (20/100)( X - (10/100)X )
X - 0.1 X = 72 + (0.2)( X - 0.1 X )
0.9 X = 72 + (0.2)(0.9X)
0.9 X = 72 + 0.18X
0.9 X - 0.18X = 72
0.72X = 72
X = 72 / 0.72
X = 100
4. Dar respuesta
El precio de venta es de 100 pts
41-c) EN CIERTA FACTORIA TRABAJAN 400 EMPLEADOS ENTRE HOMBRES Y MUJERES. CADA HOMBRE PERCIBE DIARIAMENTE 160 PTS Y CADA MUJER, 120 PTS. CALCULAR EL NÚMERO DE MUJERES EMPLEADAS SABIENDO QUE LA NÓMINA DIARIA DEL PERSONAL ASCIENDE A 57200 PTS.
1. Determinar las variables ( lo que nos preguntan ) y datos ( lo que nos dan)
X = nº de hombres 160 pts = pago diario hombres
Y =nº de mujeres 120pts = pago diario mujeres Nómina diaria = 57200 pts
2. Hallar la ecuación a utilizar según el problema
COMO SON DOS INCOGNITAS, SE DEBEN BUSCAR DOS ECUACIONESY RESOLVER UN SISTEMA
Nº de hombres + Nº de mujeres = 400 ECUACIÓN 1
NOMINA DIARIA= (Nº de hombres)*(pago hombres) + (Nº de mujeres)*(pago mujeres) ECUACION 2
3. Reemplazar en las ecuaciones las variables y resolver el sistema
X + Y = 400 ECUACIÓN 1
160 X + 120Y = 57200 ECUACIÓN 2
- 160( X + Y = 400 ) -------- -160X - 160Y = -64000
1(160 X + 120Y = 57200) ------ 160 X + 120Y = 57200
Se elimina la X y queda
-160 Y + 120Y = -64000 + 57200
-40Y = -6800
Y = -6800/ -40
Y = 170 mujeres
Para X reemplazamos en cualquier ecuación ( 1 ó 2 )
Reemplacemos en la ECUACIÓN 1
X + Y = 400
X + 170 = 400
X = 400 - 170
X = 230 hombres
4. Dar respuesta
El número de mujeres es de 170.
41-d) UNA PERSONA TIENE INVERTIDO 45000 PTS, UNA PARTE AL 2% Y LA OTRA AL 3%. SABIENDO QUE LOS INTERESES QUE PERCIBE ANUALMENTE ASCIENDEN A 1100 PTS, HALLAR LAS CANTIDADES QUE TIENE COLOCADAS A LOS REFERIDOS TIPOS DE INTERÉS.
1. Determinar las variables ( lo que nos preguntan ) y datos ( lo que nos dan)
X = capital al 2% 1100 pts = intereses que recibe
Y =capital al 3%
2. Hallar la ecuación a utilizar según el problema
COMO SON DOS INCOGNITAS, SE DEBEN BUSCAR DOS ECUACIONESY RESOLVER UN SISTEMA
Capital al 2% + Capital al 3% = 45000 ECUACIÓN 1
(Capital al 2%) * (2%) + (Capital al 3%) * (3%) = 1100 ECUACION 2
3. Reemplazar en las ecuaciones las variables y resolver el sistema
X + Y = 45000 ECUACIÓN 1
X(2/100) + Y(3/100) = 1100
0.02X + 0.03Y = 1100 ECUACIÓN 2
- 0.02( X + Y = 45000 ) -------- -0.02X - 0.02Y = -900
1(0.02X + 0.03Y = 1100) ------- 0.02 X + 0.03Y = 1100
Se elimina la X y queda
-0.02Y + 0.03Y = -900 + 1100
0.01Y = 200
Y = 200/ 0.01
Y = 20000 pts
Para X reemplazamos en cualquier ecuación ( 1 ó 2 )
Reemplacemos en la ECUACIÓN 1
X + Y = 45000
X + 20000 = 45000
X = 45000 - 20000
X = 25000 pts
4. Dar respuesta
Capital al 2% = 25000 ptsCapital al 3% = 20000 pts
41-e) UNA PERSONA HA INVERTIDO 20000 PTS AL 7% Y 50000 PTS AL 4%. HALLAR LA CANTIDAD QUE DEBE COLOCAR AL 6% PARA QUE EL TOTAL INVERTIDO LE RESULTE A UN INTERÉS DEL 5%.
1. Determinar las variables ( lo que nos preguntan ) y datos ( lo que nos dan)
X = capital al 6% Capital al 7% = 20000 pts
Capital al 4% = 50000 pts
Capital total = Capital al 7% + Capital al 4% + Capital al 6%
Capital total = 20000 + 50000 + X
2. Hallar la ecuación a utilizar según el problema
(Capital al 7%) * (7%) + (Capital al 4%) * (3%) + (Capital al 6%)*(6%) = (Capital total)*(5%)
3. Reemplazar en las ecuaciones las variables y resolver el sistema
20000*(7/100) + 50000*(4/100) + X*(6/100) =(20000+50000 + X)*(5/100)
1400 + 2000 + 0.06X = ( 70000 + X )*0.05
3400 + 0.06X = 3500 + 0.05X
0.06X - 0.05X = 3500 - 3400
0.01X = 100
X = 100/ 0.01
X = 10000 pts
4. Dar respuesta
Capital al 6% = 10000 pts
39-b)UN MUCHACHO TIENE 500 PTS EN MONEDAS DE 25 Y 50 PTS. SABIENDO QUE EL NÚMERO DE LAS DE 25 ES IGUAL AL DOBLE DE LAS DE 50, HALLAR EL NÚMERO DE MONEDAS DE CADA CLASE
1. Determinar las variables ( lo que nos preguntan ) y datos ( lo que nos dan)
X = nº monedas de 25 500 pts = dinero que tiene en total
Y = nº monedas de 50
2. Hallar la ecuación a utilizar según el problema
COMO SON DOS INCOGNITAS, SE DEBEN BUSCAR DOS ECUACIONESY RESOLVER UN SISTEMA
Monedas de 25 = Doble de monedas de 50 ECUACIÓN 1
(nº monedas de 25)* (25) + (monedas de 50) * (50) = 500 ECUACION 2
3. Reemplazar en las ecuaciones las variables y resolver el sistema
X = 2 Y
X - 2 Y = 0 ECUACIÓN 1
X*25 + Y*50 = 500
25X + 50Y = 500 ECUACIÓN 2
-25( X - 2 Y = 0 ) -------- -25X + 50Y = 0
1(25X + 50Y = 500) ------- 25 X + 50Y = 500
Se elimina la X y queda
50Y + 50Y = 500
100Y = 500
Y = 500/ 100
Y = 5 monedas de 50
Para X reemplazamos en cualquier ecuación ( 1 ó 2 )
Reemplacemos en la ECUACIÓN 1
X - 2Y = 0
X - 2( 5) = 0
X - 10 = 0
X = 10 pts
4. Dar respuesta
nº monedas de 25 = 10
nº monedas de 50 = 5
ECUACIONES II
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROBLEMAS PAG 96
41-a) UN COMERCIANTE ADQUIERE UNA MERCANCIA A UN PRECIO DE 72 PTS. HALLAR EL PRECIO A QUE LA DEBE PONER EN VENTA PARA QUE, HACIENDO UN DESCUENTO DEL 10% SOBRE ESTE, GANE EN LA OPERACIÓN UN 20% SOBRE EL PRECIO DE VENTA
41-c) EN CIERTA FACTORIA TRABAJAN 400 EMPLEADOS ENTRE HOMBRES Y MUJERES. CADA HOMBRE PERCIBE DIARIAMENTE 160 PTS Y CADA MUJER, 120 PTS. CALCULAR EL NÚMERO DE MUJERES EMPLEADAS SABIENDO QUE LA NÓMINA DIARIA DEL PERSONAL ASCIENDE A 57200 PTS.
41-d) UNA PERSONA TIENE INVERTIDO 45000 PTS, UNA PARTE AL 2% Y LA OTRA AL 3%. SABIENDO QUE LOS INTERESES QUE PERCIBE ANUALMENTE ASCIENDEN A 1100 PTS, HALLAR LAS CANTIDADES QUE TIENE COLOCADAS A LOS REFERIDOS TIPOS DE INTERÉS.
41-e) UNA PERSONA HA INVERTIDO 20000 PTS AL 7% Y 50000 PTS AL 4%. HALLAR LA CANTIDAD QUE DEBE COLOCAR AL 6% PARA QUE EL TOTAL INVERTIDO LE RESULTE A UN INTERÉS DEL 5%.
39-b)UN MUCHACHO TIENE 500 PTS EN MONEDAS DE 25 Y 50 PTS. SABIENDO QUE EL NÚMERO DE LAS DE 25 ES IGUAL AL DOBLE DE LAS DE 50, HALLAR EL NÚMERO DE MONEDAS DE CADA CLASE